BAB 6 : BARISAN DAN DERET


6.5 Diferensiasi dan Integrasi Deret Pangkat


A) Rangkuman Materi


1 Representasi Deret Pangkat Suatu Fungsi

Jika suatu fungsi \(f\) dinyatakan sebagai jumlah dari deret pangkat untuk setiap \(x\) dalam sebarang selang, maka dapat dikatakan bahwa deret pangkat tersebut merepresentasikan \(f\) pada selang tersebut.

Teorema 1.1 (Diferensiasi Deret Pangkat)
Jika suatu fungsi \(f\) direpresentasikan oleh suatu deret pangkat, misal \[ f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k \] di mana deret tersebut mempunyai jari-jari konvergensi \(R\), maka

  1. Deret suku-suku diferensialnya \[ \sum_{k=0}^\infty \frac{d}{dx}[c_k (x-a)^k] = \sum_{k=0}^\infty k c_k (x-a)^{k-1} \] mempunyai jari-jari konvergensi \(R\).
  2. Fungsi \(f\) diferensiabel pada selang \((a - R, a + R)\), dan untuk setiap \(x\) dalam selang ini \[ f'(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{d}{dx}[c_k (x-a)^k] \]
Teorema 1.2 (Integrasi Deret Pangkat)

Jika suatu fungsi \(f\) direpresentasikan oleh suatu deret pangkat, misal \[ f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k (x-a)^k \] di mana deret tersebut mempunyai jari-jari konvergensi \(R\), maka

  1. Deret suku-suku integrasinya \[ \sum_{k=0}^\infty \left[ \int c_k (x-a)^k dx \right] = \sum_{k=0}^\infty \frac{c_k}{k+1} (x-a)^{k+1} \] mempunyai jari-jari konvergensi \(R\).
  2. Fungsi \(f\) kontinu pada selang \((a - R, a + R)\), dan untuk semua \(x\) dalam selang ini

    3. \[ \int f(x)dx = \sum_{k=0}^\infty \left[ \int c_k(x-a)^k dx \right] + C \]

  3. Untuk semua \(\alpha\) dan \(\beta\) dalam selang \((a - R, a + R)\), deret

    4. \[ \sum_{k=0}^\infty \left[ \int_{\alpha}^{\beta} c_k(x-a)^k dx \right] \]

    konvergen absolut dan

    \[ \int_{\alpha}^{\beta} f(x)dx = \sum_{k=0}^\infty \left[ \int_{\alpha}^{\beta} c_k(x-a)^k dx \right] \]

1.2 Representasi Deret Pangkat Harus dalam Bentuk Deret Taylor

Teorema 2.1

Jika \[ f(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \dots + c_n(x-a)^n + \dots \] untuk semua \(x\) di sebarang selang terbuka yang memuat \(a\), maka deret tersebut adalah deret taylor untuk \(f\) di sekitar \(a\).

3 Beragam Teknik untuk Memperoleh Deret Taylor

Untuk mendapatkan deret Taylor atau Maclaurin dari suatu fungsi yang sulit secara langsung, dapat diperoleh melalui perkalian atau pembagian tiap bagian dari fungsi tersebut yang mudah untuk diperoleh deret Taylor atau Maclaurin.

Contoh: Dapatkan tiga suku pertama yang terjadi pada deret Maclaurin dari

\[ \frac{1}{1-x} \sin x. \]

Deret Maclaurin dari masing-masing fungsi adalah \[ \begin{aligned} \frac{1}{1-x} &= 1 + x + x^2 + x^3 + \dots & -1 < x < 1 \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots & -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}, \end{aligned} \]

sehingga

\[ \begin{aligned} \frac{1}{1-x} \sin x &= (1 + x + x^2 + x^3 + \dots) \left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \\ &= x + x^2 + \left(-\frac{1}{3!} + 1\right)x^3 + \left(-\frac{1}{3!} + 1\right)x^4 + \dots \\ % Simplified based on typical multiplication &= x + x^2 + \frac{5}{6}x^3 + \frac{5}{6}x^4 + \dots & -1 < x < 1. \end{aligned} \]

B) Contoh Soal


1. Dapatkan hasil-hasil yang dinyatakan dengan diferensiasi atau integrasi deret Maclaurin suku per suku

(a) \(\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x\)
(b) \(\int \sin x \,dx = -\cos x + C\)

Pembahasan:

(a) Diketahui bahwa deret Maclaurin dari fungsi \(\cos x\) dan \(\sin x\) adalah \[ \begin{aligned} \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \end{aligned} \]

sehingga \[ \begin{aligned} \frac{d}{dx}[\cos x] &= \frac{d}{dx}\left[1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots\right] \\ &= 0 - \frac{2x}{2!} + \frac{4x^3}{4!} - \frac{6x^5}{6!} + \frac{8x^7}{8!} - \dots \\ &= -\frac{x}{1!} + \frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} - \dots \\ &= -\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \\ &= -\sin x \end{aligned} \]

2. Gunakan integrasi deret pangkat (sampai empat suku pertama) untuk menghampiri nilai integral

\[ \int_{0}^{1} \cos \sqrt{x} \,dx. \]

Pembahasan:

Diketahui bahwa deret Maclaurin dari fungsi \(\cos x\) adalah \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \dots \]

sehingga \[ \begin{aligned} \cos \sqrt{x} &= 1 - \frac{(\sqrt{x})^2}{2!} + \frac{(\sqrt{x})^4}{4!} - \frac{(\sqrt{x})^6}{6!} + \dots \\ &= 1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^3}{6!} + \dots \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \cos \sqrt{x} \,dx &= \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{4!} - \frac{x^3}{6!} + \dots\right) dx \\ &= \left[x - \frac{x^2}{2 \cdot 2!} + \frac{x^3}{3 \cdot 4!} - \frac{x^4}{4 \cdot 6!} + \dots\right]_{0}^{1} \\ &= \left(1 - \frac{1}{2 \cdot 2!} + \frac{1}{3 \cdot 4!} - \frac{1}{4 \cdot 6!} + \dots\right) - (0) \\ \int_{0}^{1} \cos \sqrt{x} \,dx &\approx 1 - \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 24} - \frac{1}{4 \cdot 720} \\ &\approx 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{72} - \frac{1}{2880} \\ &\approx \frac{2880 - 720 + 40 - 1}{2880} \\ &\approx \frac{2199}{2880} \\ &\approx 0.76354166\dots \end{aligned} \]

3. Dapatkan empat suku pertama tak nol deret Maclaurin dari fungsi \(x \ln(1 - x^2)\)

Pembahasan:

Diketahui bahwa deret Maclaurin dari \(\ln(1+x)\) adalah \(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots\) untuk \(-1 < x < 1\), sehingga

\[ \begin{aligned} \ln(1 - x^2) &= (-x^2) - \frac{(-x^2)^2}{2} - \frac{(-x^2)^3}{3} - \frac{(-x^2)^4}{4} - \dots \\ &= -x^2 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} - \dots \quad \text{untuk } -1 < x < 1. \end{aligned} \]

Dengan demikian deret Maclaurin dari fungsi \(x \ln(1 - x^2)\) adalah \[ \begin{aligned} x \ln(1 - x^2) &= x \left(-x^2 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} - \dots\right) \\ &= -x^3 - \frac{x^5}{2} - \frac{x^7}{3} - \frac{x^9}{4} - \dots \quad \text{untuk } -1 < x < 1. \end{aligned} \]

C) Latihan Soal


1. Dengan meng-integrasikan suatu deret yang sesuai, tunjukkan bahwa

\[ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = \ln \left(\frac{1}{1-x}\right) \quad \text{untuk } -1 < x < 1 \]

Hint: \(\ln \left(\frac{1}{1-x}\right) = -\ln(1-x)\)

Pembahasan

Perhatikan bahwa

\[ \sum_{k=1}^\infty x^{k-1} = \frac{1}{1-x} \]

Selanjutnya, integralkan kedua ruas

\[ \begin{aligned} \int \sum_{k=1}^\infty x^{k-1} \,dx &= \int \frac{1}{1-x} \,dx \\ \sum_{k=1}^\infty \int x^{k-1} \,dx &= \int \frac{1}{1-x} \,dx \\ \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} &= -\ln(1-x) \\ &= \ln \left(\frac{1}{1-x}\right) \end{aligned} \]


2. Gunakan hasil Latihan soal nomor 1 untuk mendapatkan jumlah dari deret

\[ \frac{1}{4} + \frac{1}{2(4^2)} + \frac{1}{3(4^3)} + \frac{1}{4(4^4)} + \dots \]

Hint: Misalkan \(x = \frac{1}{4}\)

Pembahasan

Misalkan \(x = \frac{1}{4}\), lalu substitusikan pada persamaan nomor 1

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^k}{k} &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k 4^k} \\ &= \frac{1}{4} + \frac{1}{2(4^2)} + \frac{1}{3(4^3)} + \frac{1}{4(4^4)} + \dots \\ &= \ln \left(\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\right) \\ &= \ln \left(\frac{1}{\frac{3}{4}}\right) \\ &= \ln \frac{4}{3} \end{aligned} \]


3. Gunakan integrasi deret pangkat (sampai empat suku pertama) untuk menghampiri nilai integral

\[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+x^4} \,dx. \]

Pembahasan

Diketahui bahwa deret Maclaurin dari \(\frac{1}{1-r}\) adalah \(\sum_{k=0}^\infty r^k\), sehingga deret Maclaurin dari \(\frac{1}{1-(-x^4)}\) adalah \(\sum_{k=0}^\infty (-x^4)^k\). Selanjutnya, akan diintegrasikan deret Maclaurin dari \(\frac{1}{1+x^4}\).

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+x^4} \,dx &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sum_{k=0}^\infty (-x^4)^k \,dx \\ &= \int_{0}^{\frac{1}{2}} \left[1 - x^4 + x^8 - x^{12} + x^{16} - \dots\right] dx \\ &= \left[x - \frac{x^5}{5} + \frac{x^9}{9} - \frac{x^{13}}{13} + \frac{x^{17}}{17} - \dots\right]_{0}^{\frac{1}{2}} \\ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+x^4} \,dx &\approx \left(\frac{1}{2} - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^5}{5} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^9}{9} - \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{13}}{13} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{17}}{17}\right) - (0) \\ &\approx \frac{1}{2} - \frac{1}{5 \cdot 2^5} + \frac{1}{9 \cdot 2^9} - \frac{1}{13 \cdot 2^{13}} + \frac{1}{17 \cdot 2^{17}} \\ % The image provides an approximation, but the values are given directly, not calculated step by step like this in the original. % I'm writing out the expansion as it would logically be. % The image directly approximates values like 1/(5*2^5) % For the purpose of transcribing the image, I will present the final approximation given in the image. \end{aligned} \]

\( \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1+x^4} \,dx \approx \frac{1}{2^5 \cdot 5} + \frac{1}{2^9 \cdot 9} - \frac{1}{2^{13} \cdot 13} + \frac{1}{2^{17} \cdot 17} \) (Ini adalah ekspresi dari baris keempat di gambar yang agak terpotong)


4. Dapatkan empat suku pertama tak nol deret Maclaurin dari fungsi \(\tanh x\)

Hint: \(\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}\)

Pembahasan

Diketahui bahwa deret Maclaurin dari fungsi \(\cosh x\) dan \(\sinh x\) adalah \[ \begin{aligned} \cosh x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \dots & \text{untuk } -\infty < x < +\infty \\ \sinh x &= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots & \text{untuk } -\infty < x < +\infty \end{aligned} \]

Selanjutnya, deret Maclaurin dari \(\tanh x\) dapat diperoleh dengan membagi deret Maclaurin \(\sinh x\) dengan deret Maclaurin \(\cosh x\) (dapat menggunakan teknik porogapit).

\[ \begin{aligned} \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} \\ &= \frac{x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dots}{1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} + \dots} \\ &= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \dots \quad \text{untuk } -\infty < x < +\infty \end{aligned} \]


© Copyright 2025 | KP Mahasiswa Matematika 2022